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幾何学における線分(せんぶん、)とは2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。

◆ 定義

V を R または C 上のベクトル空間とし、L を V の部分集合とする。L がある適当なベクトル u, v ∈ V を選べば

:

とパラメータ付けできるとき、L は線分であるという。この時、ベクトル u, u + v は L の端点 と呼ばれる。

線分が「開」か「閉」かの区別を要することもある。このとき、閉線分の定義は上述のもの、開線分は V の部分集合 L は u, v ∈ V を選んで

:

とパラメータ付けすることができることをいう。あるいは同じことだが「閉線分は2点の凸包である」と定義してもよい。

◆ 性質

・ 線分は連結で空ではない集合である。

・ V が位相線型空間の時、閉線分は V の閉集合である。しかし、開線分が V の開集合となるのは、V が一次元であるときであり、かつそのときに限る。

・ もっと一般に、線分の概念は順序幾何学 の枠組みで定義することができる。

◆ 関連項目

・区間 (数学)

・直線

◆ 参考文献

・David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4(邦訳)

◆ 外部リンク

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・[外部リンク] Line Segment at PlanetMath

・[外部リンク] Definition of line segment With interactive animation

・[外部リンク] Copying a line segment with compass and straightedge

・[外部リンク] Dividing a line segment into N equal parts with compass and straightedge Animated demonstration

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