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偏差値(へんさち、Standard score)とは、ある数値が母集団の中でどれくらいの位置にいるかを表した無次元数。平均値が50、標準偏差が10となるように標本変数を規格化したものである。

◆概要

偏差値の利用価値が高いのは、母集団の数値の分布が正規分布に近い状態の時である。分布のピークが2箇所ある場合など、正規分布と大きく異なる場合には適切な指標となりえない場合がある。

分布が正規分布に近い場合は、40から60の間に約68.3%、30から70の間に約95.4%、20から80の間に約99.73%、10から90の間に約99.9937%、0から100の間に約99.999953%が含まれる事が知られているhttp://www.fpohkuni.com/FIN702.htm。つまり、

・偏差値60以上(あるいは40以下)は、全体の15.866%。

・偏差値70以上(あるいは30以下)は、全体の2.275%。

・偏差値80以上(あるいは20以下)は、全体の0.13499%。

・偏差値90以上(あるいは10以下)は、全体の0.00315%。

・偏差値100以上(あるいは0以下)は、全体の0.00002%。

例えば、全受験生が100万人いた学力試験で偏差値を求めると、偏差値80以上となる者は、ほぼ1350人となる。

平均値から大きく離れた場合は0から100の間に収まらないが、その割合は非常に低く、約0.000047%、つまり約200万分の1しかない。偏差値の上限値、下限値は元となる標本の分布によって決まるものであり、いかなる実数をもとりうる。

◆ 数式による解説

偏差値$T\_i$は次の式で求まる。

:$T\_i=\backslash frac+50$

ただし、

:$\backslash begin$

&\mu_x=\frac\sum_^Nx_i\\

&\sigma_x=\sqrt^N(x_i-\mu_x)^2 --> -->\\

\end

:$N$:母集団の大きさ $x\_i$:個々の値 $\backslash mu\_x$:母平均 $\backslash sigma\_x$:母標準偏差

である。

) -->+50

ただし、

:$\backslash begin$

&\bar=\frac\sum_^nx_i\\

&s_x=\sqrt^n(x_i-\bar)^2 --> -->\\

\end

:$n$:標本の大きさ $x\_i$:個々の標本値 $\backslash bar$:標本平均 $s\_x$:標本不偏標準偏差

である。-->

なお分母$\backslash sigma\_x$は標準偏差であり、分子$x\_i-\backslash mu\_x$は偏差である。偏差が0であるとき(ある標本値が平均値に等しいとき)は偏差値は50となる。また、標準偏差が0である場合、つまり全ての標本値が同じ値であるときはこの式では偏差値は定義できないが、その場合は便宜上全ての標本値の偏差値を50と考えることがある。

◆応用例

・学力検査の結果を表す学力偏差値は、入学試験の合格率の判定などに広く使われている。学力テストの得点分布は正規分布からかけ離れている場合が多く、偏差値本来の意味からすれば学力を測る正確な指標とは言えない。

・知能検査の結果を表す知能偏差値は、教育などに役立てるために、知能指数などとともに使われている。

・何らかの格付け表が作成される場合、比喩的に偏差値が用いられる事がしばしばある。もちろんこの場合でいう“偏差値”とは、根拠あるデータを元に統計学的に得られた値ではなく、リスト作成者ら個々人の受験経験で身に付いた偏差値に対する感覚に基づいている事が多い。

◆ 脚注

◆関連項目

・統計

・標準得点

・標準偏差 - 正規分布

・学力偏差値

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